摘要：對于一個無窮項數列，一個基本又重要的問題是怎么研究它的收斂性。當數列收斂時，數列的取值情況比較直觀易于觀察。當數列發散時，數列的取值情況很難把握，通常情況運用子數列的方法對數列的取值情況進行部分的研究。當數列趨近于無窮大時，可以通過刻畫數列取值的主項，對數列的取值情況進行研究.近些年來，國內有許多學者發表了關于數列收斂與發散證明方法的研究，并取得了一些成果。本文在對這些成果進行系統總結的基礎上，簡要評析了總體研究現狀，并指出當前亟待進行深入研究的問題，以便于學者在該領域的進一步研究提供參考。

關鍵詞：數列收斂；數列發散；證明方法。

目錄

摘要

Abstract

1 緒論-3

1.1 研究背景-3

1.2 研究意義-3

1.3研究現狀-3

2 數列的相關概念-5

2.1 數列極限概念-5

2.2 收斂數列的性質-5

2.3 數列極限存在的條件-6

3 數列收斂與發散的證明中常見方法小結-8

3.1利用數列收斂的定義-8

3.2 利用聚點的定義及相關性質-8

3.3 利用單調有界原理-11

3.4 利用柯西收斂準則-11

3.5利用迫斂性-13

3.6利用級數的收斂性-13

3.7反證法-14

4 數列收斂與發散的證明中特殊方法小結-15

4.1利用放縮法-15

4.2上下極限的方法-16

4.3四則運算法-17

4.4通過“數形結合”利用定義證明-18

4.5 分類討論-23

4.6 數學歸納法證明-26

結語-28

謝辭-29

參考文獻-30