摘要：傳染性疾病對人們的健康和人類社會的發展有著重要影響。數學模型是人們對疾病抗爭的重要工具。基于復雜網絡上的傳播動力學問題是復雜網絡研究領域的重要課題。基于復雜網絡應用的廣泛性，近幾年來復雜網絡拓撲結構研究的迅猛發展，復雜網絡為研究現實復雜系統提供了一種強有力的描述方式。復雜網絡的研究可以使人們更好的了解現實世界中的傳染病動力學行為,對疾病的防治將提供更準確的依據和指南，從而設計更好的傳染病控制方法。

本文討論了一種基于異構網絡具有免疫機制的SIRS流行病模型。通過構造合適的李亞普諾夫函數，研究了無病平衡點和流行病平衡點的全局穩定性。同時，我們研究了復雜網絡中SIRS流行病模型的最優控制問題。我們證明了該控制問題的最優控制解的存在性。最后給出了一些數值模擬，說明了該最優控制問題的全局穩定性和有效性。這些結果有助于對疾病采取實際治療措施，進而提供幫助。

關鍵詞：復雜網絡; 平衡點; 最優控制; SIRS模型

目錄

摘要

Abstract

第一章 緒論-1

1.1流行病的起源-1

1.2 對抗流行病-1

1.3研究內容-1

1.4章節安排-1

第二章 基礎知識-3

2.1 SI模型-3

2.2 SIS模型-4

2.3 SIR模型-6

2.4動力系統基本知識-7

2.4.1相空間-7

2.4.2奇點-7

2.5 最優控制-8

第三章 研究SIRS流行病模型的平衡點，全局穩定性及最優控制-10

3.1.介紹-10

3.2.全局穩定性-11

3.3 最優疫苗接種問題-12

3.4.數值實驗-17

第四章 總結和展望-19

參考文獻-20

致    謝-22