摘要:變系數微分方程在各應用學科中起到了至關重要的作用，如物理學，機械工程和凝聚態物理等。在近期的發展中，關于變系數微分方程對稱性的分析和精確解的構造成為科學家們研究的熱點課題。

    本論文以孤子理論為指導，以符號計算軟件為輔助工具進行課題研究，利用樓直接主要研究了兩個(1+1)-維變系數微分方程的求解。

    本篇論文第一章概述了孤子產生的背景和發展概況；第二章主要介紹非線性微分方程及求解方法如反散射方法，Darboux 變換法和Bcklund 變換法、Lie群方法等；最后一章利用樓直接方法研究了(1+1)-維變系數KdV方程和(1+1)-維變系數修正的KdV方程，并給出這兩個方程的對稱變換和精確解。

關鍵字：精確解；孤子理論；樓直接法；變系數微分方程

目錄

摘要

Abstract

1 緒論-1

1.1 孤子產生背景和發展概況-1

2 非線性微分方程及求解方法-4

2.1 非線性系統簡介-4

2.2 變系數微分方程-5

2.3 非線性微分方程的求解方法-5

3 兩個(1+1)-維變系數微分方程的對稱變換和精確解-9

3.1 樓直接方法簡介-9

3.2 (1+1)-維變系數KdV方程的對稱換和精確解-9

3.3 (1+1)-維修正的變系數KdV方程的對稱變換和精確解-13

結    論-16

參 考 文 獻-17

致    謝-19