摘要: 在研究復變函數論時，解析函數是極為重要的研究對象.級數常常作為研究解析函數時使用到的重要工具，所以人們通常用級數來表示解析函數.這不僅在理論上讓人通俗易懂，還能在運算中進行實際運用.用泰勒級數來表示圓形區域內的解析函數方法簡單，運用方便.但對于有些特殊函數，如貝塞爾函數，以圓心為奇點，就不能在奇點領域內表成泰勒級數.此時，引入洛朗級數來表示挖去奇點的圓環內的解析函數就非常的有必要.本課題是在初步了解解析函數的基礎上，對其若干的展式進行研究.目的是為了直觀的了解泰勒展式與洛朗展式的區別，進而快速在兩種展式中合理選取并運用以展開解析函數并探究其在奇點領域內的性質.通過對解析函數展開成冪級數方法的舉例、分析和總結，在以后遇到此類問題時，應該從多方面考慮，選擇最快捷和正確的方法來展開成冪級數.

關鍵詞：解析函數；奇點；泰勒展式；洛朗展式

目錄

摘要

Abstract

1 緒論-4

1.1 研究背景-4

1.2 研究目的-4

1.3 研究意義-4

2 解析函數-5

2.1解析函數的概念-5

2.2解析函數的性質-5

2.3解析函數的判定-7

3 解析函數的泰勒展開式-9

3.1泰勒定理-9

3.2泰勒展開的方法-9

3.3泰勒展式的應用-11

4 解析函數的洛朗展開式-13

4.1洛朗定理-13

4.2洛朗展開的方法-15

4.3洛朗展式的應用-15

5 泰勒展式與洛朗展式的關系-19

謝辭-20

參考文獻-21