摘要:關于一元函數的極限的研究,在現行的數學分析教科書中都有比較系統的研究.但是對于多元函數的極限,現行的數學分析教科書只是將多元函數極限計算作為一元函數極限計算方法的推廣,沒有作系統的研究,且多元函數極限計算及極限不存在的討論舉例很少.由于自變量個數的增加,多元函數的極限比一元函數極限變得要復雜得多,因此多元函數極限的計算及極限存在性的相關研究一直是數學研究工作者探討的熱點問題.

本文主要探討了以下兩個問題：

1、在一元函數極限計算法則和方法的基礎上,將一元函數求極限的法則和方法全面、系統地推廣到多元函數的極限(重點是二元函數的極限).在前人研究成果的基礎上,系統地總結歸納了多元函數的極限常用的方法,概括起來可以分為初等方法和洛必達法則兩大類,其中初等方法又細分為七種.每一種法則和方法均配備了相應的例題,有些情況下還對該法則和方法的應用作了相應的說明.對于多元函數的洛必達法則,在給出法則的同時,并通過例子說明了法則的應用,特別地還給出了通過變量變換轉化為用一元函數的洛必達法則求解多元函數極限的例子.

2、根據多元函數極限的定義,總結了判別多元函數極限不存在性的若干路徑的選擇方法：直線路徑、二次曲線路徑、極坐標路徑、分式曲線路徑、混合路線等.

關鍵詞： 多元函數；極限；洛比達法則；不存在；路徑選擇

目錄

摘要

Abstract

1 緒論-1

1.1 研究背景-1

1.2 研究意義-1

1.3 主要工作-1

2 多元函數極限的解法-2

2.1 二元函數極限的定義-2

2.2 多元函數求極限的初等方法-2

2.2.1 二元函數極限的四則運算法則-2

2.2.2 多元復合函數極限的運算法則-3

2.2.3 利用多元函數的連續性求極限-4

2.2.4 利用夾逼定理求極限-6

2.2.5 利用兩個重要極限求極限-8

2.2.6 利用無窮小的運算性質求極限-9

2.2.7 利用等價無窮小代換求極限-10

2.3 多元函數極限的洛必達法則-13

2.3.1 利用洛比達法則求型或型二元函數極限-13

2.3.2 利用洛比達法則求、型二元函數極限-17

2.3.3 利用洛比達法則求、或型二元函數極限-19

3 多元函數極限不存在性的研究-21

3.1 多元函數極限的定義-21

3.2 多元函數極限不存在性的判別方法-21

3.2.1 直線路徑-21

3.2.2 二次曲線路徑-22

3.2.3 極坐標路徑-23

3.2.4 分式曲線路徑-23

3.2.5 多種混合路徑-24

結論-25

致謝-26

參考文獻-27